La Línea Recta

Conceptos. 

En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadas condiciones.  

Todas las rectas que no son paralelas al eje “y” tienen la característica de que interceptan a dicho eje en algún punto P, el cual se representa como P(0, b); si además conocemos el valor de la pendiente “m, entonces podemos determinar la ecuación de la recta que interceptan el eje “y”.
De manera general, podemos establecer una regla para construir la gráfica de cualquier recta en la que conocemos las coordenadas del punto P por donde pasa y el valor de la pendiente m, primero ubicamos el punto y a partir de el nos desplazamos hacia la derecha o hacia la izquierda, hacia arriba o hacia abajo el número de unidades que indiquen los valores del numerador y denominador de la pendiente como se muestra en la tabla.

Tabla para los signo y desplazamiento.

La interpretación geométrica de la pendiente de una recta 

Definición.

Existen muchas definiciones para la recta; cada una de estas definiciones tiene que ver con el contexto matemático que se desea definir.
La definición "formal"  es la siguiente: "Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado"
Definición geométrica de la recta: La recta es el lugar geométrico de los puntos tales que, tomados dos cualesquiera del lugar geométrico, el valor de la pendiente siempre resulta constante.
Definición analítica de la recta: Una recta viene a ser la unión de un vector dado entre dos puntos que siguen la misma dirección del vector original unitario.

Características de la recta.

• La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.

Semirrecta.
Se le llama semirrecta a cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al ser cortada en cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta, denominado origen, a partir del cual se extiende indefinidamente en una sola dirección.

Semirrecta opuesta.
La semirrecta opuesta de una semirrecta es la otra semirrecta salida de la recta que define la primera.

    Cada semirrecta solo tiene una semirrecta opuesta.

    Una semirrecta y su semirrecta opuesta tienen el mismo origen.

Ecuación de la recta.

Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P₁(x₁ ; y₁) y  P₂(x₂ ; y₂) del lugar, el valor de la pendiente “m” calculado por medio de la formula

FORMA PUNTO PENDIENTE:

La ecuación de la recta L que pasa por el punto P₁(x₁ ; y₁) y  P2(x₂ ; y₂) y cuya pendiente es “m” está dado por: 

FORMA PENDIENTE ORDENADA EN EL ORIGEN:
La ecuación de la recta L de pendiente “m” y que corta al eje Y en el punto P₁(0;b) está dado por:

FORMA GENERAL DE LA RECTA:

La ecuación de la recta L está dado por:

Ejemplo:

Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de  – 1/3

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

y – y ₁ = m(x – x ₁ )

y – (–4) = – 1/3(x – 2)

3(y + 4) = –1(x – 2)

3y + 12 = –x + 2

3y +12 + x – 2 = 0

3y + x + 10 = 0

x + 3y + 10 = 0

Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10 .

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b .

Usamos la información que tenemos:

m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación

y = 3x + 10 .

La ecuación que se pide es y = 3x + 10 .

Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general:

y – 3x – 10 = 0 , la cual amplificamos por –1, quedando como

– y + 3x + 10 = 0 , que luego ordenamos, para quedar

3x – y  +  10 = 0

Ejemplo 3: La ecuación de la recta que pasa por el punto A(-8, -8) y que tiene una pendiente de m=2 es: (Para el lector)

Vídeo.