la circunferencia es la más simple y geométricamente se describe como la intersección de un cono recto circular y un plano paralelo a la base del cono.
Se puede decir que la circunferencia como lugar geométrico es una curva formada por puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro, por lo que sus elementos principales son: el centro y el radio.
Su definición informal: La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado centro.
De manera formal, una circunferencia se define como: una circunferencia es el lugar geométrico de los P (x, y) que equidistan de un punto fijo C llamado (centro)
El diámetro es una línea recta que pasa por el centro de una circunferencia y une dos puntos opuestos. Todo diámetro divide el objeto en dos semicírculos perfectos.
La longitud
l de una circunferencia es:
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
Cuando la circunferencia tiene el centro en el origen se tiene la ecuación reducida.
De la ecuación general de una circunferencia se deduce que:
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro:(x1,y1),(x2,y2), la ecuación de la circunferencia es: (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
Elementos básicos
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia de las cuales detallaremos con cada una su respectiva definición:
Centro: es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
Radio: es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro. El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.
Diámetro: el diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π.
Cuerda: la cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.
Recta secante: es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos.
Recta tangente: es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto.
Punto de Tangencia: es el punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia.
Arco: el arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.
Semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
Otras descripciones de la circunferencia.
Recta tangente a una circunferencia: Si desde un punto P (x, y) trazamos una recta t, sera tangente a una circunferencia cuando la distancia del centro a la recta coincida con el radio.
El diámetro es una línea recta que pasa por el centro de una circunferencia y une dos puntos opuestos. Todo diámetro divide el objeto en dos semicírculos perfectos.
d = 2r
La longitud
l de una circunferencia es:
donde r es la longitud del radio y d=2r es el diámetro. Así pues p (número
pi)
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
Sea P (x, y) un punto cualquiera verificando d(P, C) = r, siendo r el radio y C(x0, y0) el centro. De la fórmula de la distancia de dos puntos se tiene
Y elevando al cuadrado se obtiene la ecuación de la circunferencia.
Y elevando al cuadrado se obtiene la ecuación de la circunferencia.
(x − x0)2 + (y − y0)2 =
r2
x2 + y2 = r2
De la ecuación general de una circunferencia se deduce que:
x2 + y2 +Dx+Ey+F= 0
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro:(x1,y1),(x2,y2), la ecuación de la circunferencia es: (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
Elementos básicos
Centro: es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
Radio: es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro. El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.
Diámetro: el diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π.
Cuerda: la cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.
Recta secante: es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos.
Recta tangente: es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto.
Punto de Tangencia: es el punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia.
Arco: el arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.
Semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
Otras descripciones de la circunferencia.
Recta tangente a una circunferencia: Si desde un punto P (x, y) trazamos una recta t, sera tangente a una circunferencia cuando la distancia del centro a la recta coincida con el radio.
la recta es tangente si
d(C, t) = radio
la recta se llama exterior si
d(C, r) > radio
la recta se llama secante si
d(C, s) < radio
la intersecta en dos
puntos A y B.
Definición de Potencia de un punto: Si desde un punto P (x, y) trazamos una recta que corte a una circunferencia C en dos puntos A y B, se llama potencia del punto respecto de la circunferencia al producto PA · PB.
Pot(P )C = PA · PB
Teorema: El valor de la potencia de un punto P respecto de una
circunferencia es constante.
Pot(P
)C =
constante
Ejemplo.
Ejemplo 1: En medio de un patio rectangular de 8m por 10m se coloca una sombrilla circular de 2.5m de radio.
Calcula el área que se cubrirá con la sombrilla.
Ejemplo 1: En medio de un patio rectangular de 8m por 10m se coloca una sombrilla circular de 2.5m de radio.
Solución.
A = p r2
A = 3.1416(2.5m)2
A
= 3.1416(6.25m2)
por lo tanto: A = 19.63 m2
x2 + y2 − 4 x − 6 y = 12
Solución.
Para conseguir la ecuación reducida del tipo (1) se agrupan cuadrados de la siguiente forma
x2 − 4 x = x2 − 2 · 2 x + 4
− 4 = (x − 2)2 − 4
y2 − 6 y = y2 − 2 · 3 y + 9 − 9 = (y − 3)2 − 9
sustituyendo en la expresión
dada se obtiene
(x − 2)2 − 4 + (y − 3)2 − 9 = 12 =⇒ (x − 2)2 + (y − 3)2 = 25
luego el centro es
C(2, 3) y el radio r = 5
Ejemplo 3.
Ejemplo 4
Calcular el centro y
el radio de la circunferencia 2x2 + 2y2 + 3x + 5y - 5 = 0.
(para el lector).
Vídeo.
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