Los Conceptos.
La hipérbola es aquella curva plana y simétrica respecto de del plano perpendiculares entre sí, cuya diferencia de las distancias a dos puntos fijos F1 y F2 es constante e igual a ±2a, donde 2a es la medida del eje real de la hipérbola. O sea, la hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas que se podrá obtener al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje que impone simetría; y con un ángulo más pequeño que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Cabe destacar que se trata del lugar geométrico de los puntos de un plano, siendo el valor absoluto de sus distancias a dos puntos fijos, los focos, igual a la distancia entre los vértices, la cual resulta ser una constante positiva.
La hipérbola deriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso), y es cognado de hipérbole (la figura literaria que equivale a exageración).
Definición.
Su definición informal es: como el lugar geométrico formado por puntos para los cuales la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
La definición formal es:Una hipérbola es el lugar geométrico de los P (x, y) cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F ´ (focos) es constante
|PF | − |PF ´| = cte = ±2a
Elementos de la hipérbola.
En la hipérbola se distinguen los siguientes elementos:
Los radios vectores de un punto P son los segmentos PF y PF´.
El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F´.
El eje secundario es la mediatriz del segmento F´F.
El centro de la hipérbola es el punto O en el que se cortan los ejes. Es el centro de simetría. Y los ejes son sus ejes de simetría.
La distancia focal es el segmento F´F, cuya longitud es 2c.
Los vértices son los puntos A y A´, puntos de corte del eje focal con la hipérbola y B y B´, puntos de corte del eje secundario con la circunferencia de centro A y radio c = OF.
El eje trasverso o eje real es el segmento AA´.
El eje no trasverso o eje imaginario es el segmento BB´.
Ecuación De La Hipérbola
Vamos a obtener la ecuación más sencilla de la hipérbola, llamada ecuación canónica. De la misma manera que en la elipse colocando los focos en el eje x, identificándolos como F1(−c,0) y F2(c,0) de manera que el origen de coordenadas quede situado en el medio de los focos. Por comodidad en los cálculos, sólo vamos a considerar el caso en el que 2a>0. Para el caso en el que 2a<0 la obtención de la ecuación es similar.
La ecuación reducida de una hipérbola cuando los focos están situados en el eje Ox y |PF | − |PF ´| = ±2a corresponde a:
Longitudes de los ejes.
Se puede comprobar que el eje real AA´mide 2a luego OA = OA´ = a
De igual forma se toma como longitud del eje imaginario BB´ 2b, luego OB = OB´ = b.
Y la distancia focal es FF´ = 2c.
Relación entre a, b y c.
Observando la figura del enlace: Hipérbola ejes y excentricidad, los lados del triángulo rectángulo OAB verifican que a (cateto) es menor que c (hipotenusa).
La relación pitagórica entre estos segmentos es: c2 = a2 + b2.
Excentricidad.
Observando varias hipérbolas se ve que unas tienen la rams más abiertas que otras. Esta característica de ser más abierta o más cerrada se mide con un número llamado excentricidad (e), que es el cociente de c entre a: e = c / a , con c>a.
Como c>a, se deduce que la excentricidad de la hipérbola es un número mayor que1.
Si e tiende a 1, c tiende al valor de a y las ramas se cierran cada vez más. Por el contrario, cuanto mayor es la excentricidad, más se van abriendo las ramas de la hipérbola. Ver gráficas en enlace superior.
La ecuación de la hipérbola cuando el centro está en el punto O(h, k) es:
Otras descripciones de la Hipérbola
Asíntotas de la hipérbola.
Si se dibuja una hipérbola y varias rectas que pasen por el origen se llega enseguida a la conclusión de que hay dos tipos de rectas:
Las que cortan a la hipérbola en dos puntos.
Las que no cortan a la hipérbola.
Además, ambos tipos de rectas se agrupan formando dos haces separados de rectas. A las rectas que sirven de frontera entre ambos haces se les llama asíntotas.
Para trazar las asíntotas de la hipérbola se traza primero el rectángulo de lados paralelos a los ejes y que tiene por dimensiones 2a y 2b, y cuyo centro es el centro de la hipérbola. Después se trazan las diagonales del rectángulo que son las asíntotas de la hipérbola. En conclusión:
Las asíntotas de la hipérbola son dos rectas a las que la curva se acerca indefinidamente sin llegar a tocarlas
Ejemplo.
Ejemplo 1
Ejemplo
Vídeo.
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