La Elipse

Conceptos.
Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia.

Definición.
Su definición informal: la elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. Su definición formal es: una elipse es el lugar geométrico de los P (x, y) cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F´ (focos) es constante (cte)

|PF | + |PF´| = cte = 2a

"Para su construcción manual, se toma un segmento de longitud 2 a y se sujetan sus extremos en los puntos F y    F´, los focos, si se mantiene el segmento tirante y se va girando se obtiene el gráfico de la elipse".

Elementos De La Elipse.

Focos: Son los puntos F y F' 

Eje Mayor: Es la cuerda que pasa por los focos y tiene sus puntos finales en la elipse (Segmento AA' de longitud 2a, a es el semieje mayor)

Eje Menor: Es la cuerda que pasa por el centro, perpendicular al eje focal y tiene sus puntos finales en la elipse (segmento BB' de longitud 2b, b es el semieje menor)

Centro: Es el punto de intersección entre los dos ejes

Radio Vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos (PF y PF')

Distancia Focal: Es la distancia FF', de longitud 2c, c es la semi distancia focal

Ejes De Simetría: Son las rectas que contienen al eje menor o al eje mayor

Excentricidad: Es igual al cociente entre la semi distancia focal y el semieje mayor e = c/a con e menor o igual que a, 0

Ecuaciones De La Elipse.

Ejemplo.
Ejemplo.1. Halla el eje mayor, el eje menor, los vértices, y los focos de la Elipse

x ² +  y² = 1
 25       16

Solución:
De la ecuación

x ² +  y² = 1

            5²       4²

Se tiene:

Eje mayor 2a = 2 · 5 = 10
Eje menor 2b = 2 · 4 = 8
Vértices A(5, 0),A´(−5, 0),B(0, 4) y B´(0, −4)

Los focos. Como

F (3, 0)     F ^´(−3, 0)

Ejemplo 2. Determinar los semiejes de la elipse, las coordenadas de los focos los vértices y traza la elipse cuya ecuación viene dada por:  25x² + 9y² = 225

Solución:

La ecuación: 25x² + 9y² = 225, puede escribirse en las formas equivalentes:

x ² +  y² = 1
9      25

x ² + y² = 1
3²     5²

La ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es a = 5 está sobre el eje y y el eje menor es b = 2 sobre el eje x. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.  

De otro lado, c² = 25 – 9 = 16, de donde c = 4 ó c = -4 por lo tanto, los focos se encuentran localizados en los puntos.

F(0 , 4) y F’(0 , -4)

Además, los vértices de la elipse son los puntos:

V₁(2, 0), V₂(5, 0), V₃(-2, 0) y V₄(-5, 0). 

La figura ilustra toda la información obtenida.

Ejemplo 3. Encuentre la ecuación de una elipse horizontal si su centro es (5,1) y el diámetro mayor es igual a 10 y la longitud del eje menor es 8. (para el lector)
Vídeo.